New PDF release: Wavelets: Theorie und Anwendungen

By Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis, Prof. Dr. rer. nat. Peter Maaß, Dr. rer. nat. Andreas Rieder

ISBN-10: 3322921093

ISBN-13: 9783322921093

ISBN-10: 3519020947

ISBN-13: 9783519020943

Wavelets haben in den letzten zwolf Jahren eine sturmische Entwicklung in Forschung und Anwendungen genommen. Wie so oft warfare der Anfang ein ingenieursmassiger Zu gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie denstellend losbar struggle. Im Falle der Wavelets struggle das Versagen klassischer Methoden zur examine geophysikalischer Daten Anlass, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln. Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, dass die Wurzeln der Methode in mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht. Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft: andert sich ein sign an einer Stelle, so andert sich die Transformierte uberall, ohne dass durch blosses Hinschauen die Stelle der Anderung gefunden werden kann. Der Grund ist naturlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonome trischen Funktionen. Verwendet guy dagegen raumlich begrenzte Wavelets, "kleine Wellen" oder "Wellchen" sind Versuche einer Ubersetzung ins Deutsche, so kann durch das Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzauflosung an der entsprechenden Stelle erreicht werden. Schon fruh bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete Transformation untersucht worden. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in terpretiert werden. Ihre filter out- und Approximationseigenschaften werden unters

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VI sich in das Gebiet der analytischen Mechanik und Systemdynarnik ein zuarbeiten. Dazu dienen auch die teilweise sehr ausfuhrlichen Bei spiele. Fur die sorgfaltige Erstellung des Manuskriptes mochte ich mich bei Frau Renate Schenk bedanken. Mein Dank gilt auch Frau Sieglinde Hil ler fur ihre beim Anfertigen der Abbildungen bewiesene Geduld.

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Annahme: Ueu ist reduzibel. Dann existieren Funktionen I, 9 E P(JR2), o I of 0, 9 of 0 mit (Ueu( a, tJ, b)/, g) L' (FUeu(a, tJ, b)/, Fgh> (E- b D1 / a R" FJ, Fg)L> = 27r p-l(D 1 / a R" FI Fg)(b) L 2(JR2) 62 KAPITEL 1. DIE KONTINUIERLICHE WAVELET-TRANSFORMATION für alle a> 0, 0 ~ -& < 211", bE 1R2. Es folgt I II o = l(Ueu(a,-&,b)f,g)pI2dp(a,-&,b) IG(2) 2". 00 411" 1F-1(D1/aR" Ff Fg)(bWdbd-& o 0 J II 00 411"2 ~: 2" Ig(bW w ID 1/ aR" f(bW diJ ~: db ,~O_O____-Vv_ _ _ _ _ _~ = leb) mit II 2" 00 leb) o 0 o 0 da ~ If(aO(211"--&)bWd-&~ Die Abbildung p : lR>o x [0; 211"[ .....

4. APPROXIMATIONSEIGENSCHAFTEN 39 bzw. 2 ist. 3 nicht mit Hilfe der Fourier-Transformation, da sich aus dem Fourier-Spektrum einer Funktion nur bedingt Aussagen über das lokale Verhalten der Funktion im Orts- oder Zeit bereich gewinnen lassen. ,p die N-te Ableitung der Funktion e(x) = '" (N ~ I)! ,p = e(N}. Ferner gilt (e hat ebenfalls den Träger [T1 ,T2 ]) T2 1 e(x)dx T, JL. Das abgeschlossene Intervall zwischen bo+aT1 und bo+aT2 kürzen wir mit I( a, bo) ab. Für hinreichend kleine lai ist f in I(a, bo) hinreichend glatt, und wir können N-mal partiell integrieren: lal- N- 1 1 ( X - bo ) e(N} -af(x)dx I(a,bo} sgnN(-a) lal- 1 1 e(x~bo) f(N}(x)dx.

1 Asymptotisches Verhalten im Frequenzparameter Zur Einstimmung betrachten wir ein paar motivierende Untersuchungen: Sei 1f ein Wavelet aus dem Schwartz-Raum S(IR), dessen erstes Moment J1 = J x1f(x)dx #- 0 nicht verschwinde. 1 ) 34 KAPITEL 1. 2) ° '-v-" = mit T E [O,e] bzw. TE [e,O]. 1) liefert für a > - ~ (L",f)"(a,w) ° (27[' )1/2 ~'( Ta) W[(W) -i (27[' )1/2 ~'( Ta) hw), wobei Ta E [O,aw] bzw. Ta E [aw,O] ist, und wir die Beziehung w[(w) ausgenutzt haben. Wegen der Stetigkeit von ~, erhalten wir -i (27[' t 1/ 2 J x7j;( x) dx .

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by Mark
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